Voici la solution, en trois étapes, pour autoriser l'envoi de fichiers MP3 à l'aide du gestionnaire de fichiers.
Modifiez chaque fichier comme spécifié ci-dessous (Prestashop 1.6).

Étape 1 : admin/filemanager/config/config.php

Avant :

$ext_music = array();//array('mp3', 'm4a', 'ac3', 'aiff', 'mid','ogg','wav'); //Audio

Après :

$ext_music = array('mp3', 'm4a', 'ac3', 'aiff', 'mid','ogg','wav'); //Audio

Étape 2

Rendez-vous dans le dossier admin/filemanager, puis renommez plugin.min.js en plugin.min.js.or.
Ensuite, modifiez plugin.js tel que (2 changements) :

//...
function filemanager (id, value, type, win) {
    // DEFAULT AS FILE
    urltype=2;
    //if (type=='image') { urltype=1; }  <--- commentez cette ligne
    //if (type=='media') { urltype=3; }  <--- et celle-ci aussi
            var title="RESPONSIVE FileManager";
//...

Et enregistrez le contenu minifié en tant que plugin.min.js.

Étape 3 : img/cms/.htaccess

Avant :

<Files ~ "(?i)^.*\.(jpg|jpeg|gif|png|bmp|tiff|svg|pdf|mov|mpeg|mp4|avi|mpg|wma|flv|webm)$">

Après :

<Files ~ "(?i)^.*\.(jpg|jpeg|gif|png|bmp|tiff|svg|pdf|mov|mpeg|mp3|mp4|avi|mpg|wma|flv|webm)$">

Il vous suffira de vider le cache (si activé) et d'actualiser la page.
Pour envoyez une musique, cliquez sur « Insérer/éditer une vidéo » et dans Source, cliquez sur le petit dossier à droite pour arriver dans le gestionnaire de fichiers. Voilà, il vous est possible d'envoyer des fichiers MP3 !

Plus d'informations sur les forums de Prestashop : Uploader fichiers mp3 dans le Filemanager.